Durante su doctorado, bajo la supervisión de Artin, desarrolló pruebas importantes en Teoría de Grupos. Entre estas estuvo la demostración del “Lema Mariposa”, un resultado sobre subgrupos normales e isomorfismos de grupos cocientes, el cual utilizó para su demostración, simple y elegante, del Teorema de Jordan-Hölder.

Con la llegada de Hitler al poder, tanto Zassenhaus como su familia se vieron afectados por varios años. En la autobiografía de su hermana, ella relata que durante ese periodo, solo podían comer carne una vez a la semana, y que luego que su madre dividía las porciones en 6, cada plato parecía estar vacío.

A pesar de esto, Zassenhaus completó su doctorado, enfocándose en el estudio de los grupos de permutaciones cuyos elementos están determinados por las imágenes de tres puntos. Tales objetos matemáticos ahora son denominados Grupos de Zassenhaus.

No obstante, a Zassenhaus le fue imposible tener una carrera académica normal debido a su fuerte rechazo hacia el partido Nazi, ya que le prohibieron seguir enseñando en la Universidad de Hamburgo, a menos que se una a su partido. Por ello, decide renunciar y unirse a la Marina, donde trabajó en el área de predicción del clima hasta que finalizó la Segunda Guerra Mundial.

También trabajó con álgebras de Lie, llegando incluso a crear métodos computacionales para estudiarlos. Además, publicó papers donde aplicaba álgebras de Lie a problemas de Fïsica Teórica; por ejemplo, en sus trabajos “Grupos continuos” y en “Teoría General de Representación”.

En el área de Teoría Algebraica de Números, contribuyó enormemente en el desarrollo de métodos computacionales para, dado un cuerpo de números algebraicos, calcular su grupo de Galois, el grupo unitario y el grupo de clases.

Recibió varios premios por sus grandes contribuciones, entre estos, el Premio Lester Ford Prize, de parte de la Sociedad Matemática Americana.
Además, fue eligido un miembro de la Sociedad Real de Canadá.

Fuente:
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biograp…/Zassenhaus.html

Luego de su estadía por 2 años, se mudó a Chicago por un año, donde André Weil se encontraba dictando, de quien aprendió bastante sobre Geometría Algebraica y Teoría de Números.

En 1957, teniendo solamente 34 años, asume la posición de profesor permanente en el Insituto de Estudios Avanzados, puesto que ocupó hasta su muerte en el año 2003, debido a un cáncer que evolucionó rápidamente.

Recibió varios premios, 2 de estos de parte de la Sociedad Matemática Americana; llegó a escribir o editar 16 libros, y publicó más de 180 papers.
Entre algunos de sus trabajos están: “La topología de los grupos de Lie y de la clasificación de estos”, “Grupos lineales algebraicos” y “Grupos aritméticos, estabilidad y representaciones”.

Como parte de su legado, dejó también una conjetura, la cual ahora se conoce como Conjetura de Borel. Esta sugiere que si dos variedades asféricas y cerradas poseen grupos fundamentales isomorfos, estas variedades son homeomorfas.
Implicando así que para ciertos tipos de variedades, una noción algebraica débil de equivalencia implica una noción topológica más fuerte.

Fuentes:

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biogr…/Borel_Armand.html

http://www.ams.org/notices/200405/fea-borel.pdf

https://www.nytimes.com/…/armand-borel-80-a-leader-in-20th-…

Entre sus aportes en Teoría de Números están:

(-) La demostración del Postulado de Bertrand, que afirma que:
Para todo n, entero positivo, existe un número primo entre n y 2n.

(-) Una prueba de una versión débil del “Teorema de los Números Primos” (que en su época aún era conjetura), en la cual demostró que:
Si la sucesión ( π(n)*ln(n) / n ) converge, entonces su límite vale 1.
Donde π(n) es la cantidad de números primos menores o iguales a n.

El “Teorema de los Números Primos” llegó a demostrarse 2 años después que Chebyshev publicó ese resultado, independientemente, por Jacques Hadamard y Charles De la Vallée Poussin.

Fuente: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biograph…/Chebyshev.html

Al finalizar la guerra, luego de la destrucción del sistema educacional polaco, Borsuk tuvo un papel importante en la reconstrucción de este.

Junto al científico Stanislaw Ulam, demostró que toda aplicación continua que mapea puntos de una n-esfera a un espacio euclidiano de dimensión n, posee al menos 2 puntos antipodales de igual imagen.

Además, su trabajo influyó mucho en el desarrollo del área conocida como Topología de Dimensón Infinita, gracias a su Teoría de Retractos y su Teoría de la Forma.

Fuente: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Borsuk.html

También realizó descubrimientos en geometría, como la construcción, con solo regla y compás, del poligono regular de 17 lados, problema sin resolver desde el periodo de Euclides.

Contribuyó en estadística con la invención, independientemente del matemático Legendre, de la “aproximación por mínimos cuadrados”, método que utilizó en sus trabajos de astronomía, pues gracias a sus cálculos se logró predecir la posición de Ceres, un asteroide que, en su época, se pensaba era un nuevo planeta.

Sus últimos trabajos fueron más prácticos que teóricos. Estudió el magnetismo terrestre y llegó a demostrar que solo pueden existir 2 polos en el planeta. Además, junto al físico Wilhelm Weber, descubrió lo que ahora conocemos como “Leyes de Kirchhoff”.

Fuente: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Gauss.html